L'information

La paire ordonnée


Le troisième axiome nous a permis de former l'ensemble "pair": {le, b}. Vous souvenez-vous que cet ensemble n'existe que si le et b existait déjà auparavant. Il ne faut pas confondre "paire" avec l'ensemble "paire ordonnée". L '«ordre» en mathématiques est d'une importance fondamentale. Nous parlons ici de «relation d'ordre». Afin de construire de futures relations d'ordre qui nous seront très utiles, nous devons faire un premier pas. La première étape, comme l'a prouvé l'astronaute qui a marché sur la Lune, peut avoir une grande importance. Quelque chose de similaire s'est produit avec la «découverte» de la «paire ordonnée». C'est Norbert Wiener qui a le premier "vu" correctement ce qu'est une paire ordonnée. Il a eu l'intuition heureuse que la paire ordonnée n'est rien de plus que l'ensemble {{le}, {le, b}}. À ce stade, nous pouvons naturellement considérer trois problèmes: le premier est de savoir si {le} il y a; la seconde est de savoir si l'ensemble {le, b} existe et le troisième est de savoir si la paire ordonnée existe. Nous ne devons pas oublier que notre hypothèse est que le et b on leur donne des ensembles. On peut dire ce qui suit: en supposant que le et b sont des ensembles existants, car il y aurait également des ensembles

{le}, {le, b} et {{le}, {le, b}}?

Vous avez peut-être déjà remarqué que le deuxième problème a été résolu par le troisième axiome, c'est-à-dire le ZF (3). Notez maintenant que si {le} exister à nouveau à ZF (3), nous concluons immédiatement que le troisième problème est résolu, c'est-à-dire que l'ensemble pair ordonné existe. Il nous reste donc à justifier que {le} Cela existe. Nous ne savons pas comment faire des miracles avec la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, donc la seule chance que nous pouvons résoudre notre problème est de recourir aux axiomes déjà supposés vrais ou à leurs conséquences déjà déduits. C'est ainsi que fonctionne une partie de la recherche mathématique. Mais lequel des trois axiomes est ce dont nous avons besoin? Ou avons-nous besoin des trois et quelques vérités supplémentaires déjà déduites?

Il est très courant en mathématiques de découvrir des arguments simples et flétri pour la démonstration des vérités. C'est notre cas, car voir que l'ensemble {le} existent, soutiennent simplement que {le, le} existe par l'axiome ZF (3), puisque nous supposons que le il y a!

Nous n'avons vraiment besoin que d'un détail: pourquoi {le} = {le, le}? Vous souvenez-vous de la première vérité? Rappelons-lui:

Axe d'extension ZF (1):

si le et b sont des ensembles et si pour tous xle si et seulement si x balors le = b.

La première vérité de la théorie de Zermelo-Fraenkel signifie que deux ensembles sont égaux si, et seulement dans ce cas, la pertinence de x l'un d'eux équivaut à la pertinence de x les uns aux autres. Maintenant, il n'est pas clair maintenant que {le} = {le, le}?

Il ne coûte rien de souligner ce point car vous venez peut-être de commencer votre expérience mathématique et pas encore très familier avec la rigueur et la subtilité des mathématiques: ces deux ensembles sont les mêmes car tout x qui appartient à l'un d'eux appartient à l'autre. Notez que le mot tout peut donner l'impression de plusieurs, mais ici il n'y a qu'un seul ensemble (l'ensemble le) jouant le rôle de x. L'existence de la paire ordonnée est ainsi établie. {{a}, {a, b}} que nous indiquerons par (a, b). N'oubliez pas que nous ne savons toujours pas si il y a certains se situent dans l'univers de la théorie de Zermelo-Fraenkel. Nous montrons simplement que s'il y a un ensemble, il y aura également une paire ordonnée. Défi à déchiffrer en une semaine: pourquoi (a, b) ≠ {a, b} ?

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