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Loi de réciprocité quadratique et entiers de Gauss


En 1825, le mathématicien allemand Carl F. Gauss a publié un article présentant des nombres complexes de la forme m + nonjem et non sont des entiers et je = (-1)1/2, lors de l'examen des problèmes liés à la réciprocité du quadrilatère. Les lois de la réciprocité représentent l'un des résultats les plus intéressants de la théorie des nombres. Ces lois sont nées du théorème de réciprocité quadratique qui a été démontré par Gauss et précédemment conjecturé par Pierre de Fermat, Leonard Euler et Joseph Legendre. David Hilbert, puis André Weil, ont généralisé ces lois et ne sont pas encore pleinement compris dans des situations plus générales.

La loi de réciprocité quadratique (LRQ) a probablement été l'un des premiers résultats profonds de la théorie moderne des nombres. À l'origine, il a été conjecturé indépendamment par Euler et Legendre dans la première moitié du XVIIIe siècle. Cependant, ils n'ont obtenu la démonstration que pour des cas particuliers. En 1795, Gauss le découvrit pour lui-même, mais ne sentit pas qu'il pouvait le démontrer, et dans une lettre rapporta que la manifestation le tourmenta pendant un an et consomma ses meilleurs efforts. À dix-neuf ans, le 8 avril 1796, Gauss fit la première démonstration de la loi de réciprocité quadratique et trouva de son vivant d'autres démonstrations de ce résultat.

Avant d'énoncer ce résultat, rappelons le concept de congruence vu dans les dernières colonnes sur la «Fonction Riemann Zeta et Internet». Gauss a introduit le concept de congruence dans le premier chapitre de son ouvrage «Disquisitiones Arithmeticae» publié en 1801. À cette époque, il a également introduit la notation «≡» qui a fait de ce concept une technique puissante en algèbre et en théorie des nombres. Passons aux définitions.

Nous considérons deux entiers le, b et non un entier positif. Si non diviser le - b nous disons que

le é congruent le b module non, et nous avons écrit leb (mod non).

Par exemple: 27 ≡ 2 (mod 5), parce que 5 divise 27 - 2 = 25, 7 ≡ 7 (mod 4), parce que 4 divise 7 - 7 = 0.

Par conséquent leb (mod non) signifie que non diviser le - b; bientôt il y a un entier k tel que le - b = kn par la définition de la divisibilité. Par exemple, 37 ≡ 2 (mod 5) car 37 - 2 = 35 = 7 • 5. Étant donné les nombres entiers le et non nous savons par l'algorithme de division qu'il existe des entiers quoi et r respectivement appelés quotient et reste tels que: le = quand + roù 0 ≤ r < non; bientôt le - r = quand, c'est-à-dire non diviser le - r. Par conséquent, par la définition de la congruence ler (mod non). Le reste r peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et non - 1, nous concluons donc que chaque entier le est un module congruent non à exactement l'une des valeurs comprises entre 0, 1, 2,…, non - 1. L'ensemble {0, 1, 2,…, non -1} de non entiers qui sont les restes des divisions de modules non, est appelée la classe de déchets de module non. Si nous réparons non = 7, alors la classe de module 7 a exactement 7 éléments, à savoir: 0, 1, 2,…, 6. Par conséquent, quel que soit l'entier, il est congru avec un seul élément de la classe de module 7. Par exemple, 20 est représenté par 6 dans la classe des déchets, comme 20 ≡ 6 (mod 7).

En raison des nombreuses propriétés similaires que les congruences et l'égalité satisfont, Gauss a choisi le symbole «≡» pour le signe de congruence. Notez que lele (mod non) et si leb (mod non) puis ble (mod non). Les opérations d'addition, de multiplication et de potentialisation se comportent comme suit: si leb (mod non) et cd (mod non), puis: a + c b + d (mod non), le c b d (mod non), lerbr (mod non).

Euler se demande dans quelles conditions la congruence x2quoi (mod p) a admis la solution aux cousins p et quoi les données. Lorsque cette congruence a une solution, nous disons que quoi c'est un résidu quadratique module p. Sinon, on dit que quoi c'est un résidu non quadratique module p. Par conséquent, le déchets quadratiques module p sont ces éléments de l'ensemble de classe de résidus de module p qui sont carrés. Si nous réparons non = 7 alors la classe du module module 7 a exactement 7 éléments, à savoir: 0, 1, 2,…, 6, et exactement 3 éléments qui sont carrés, à savoir: 1 = 12, 4 = 22, 2 = 32, c'est-à-dire 32 = 9 ≡ 2 (mod 7). Par conséquent, l'entier 2 est le module de résidu quadratique 7. Cependant, 5 est le module de résidu non quadratique 7, car aucun des éléments de l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6} ne satisfait l'équation. x2 ≡ 5 (mod 7).

L'intérêt de la théorie quadratique des résidus réside dans la question suivante: pour tout nombre premier impair p et quoi, il existe une relation entre la propriété de p être résidu quadratique module quoi avec la propriété de quoi être résidu quadratique module p? Par conséquent, nous discutons de la nature de la réciprocité des résidus quadratiques.

En 1640, Fermat a énoncé le théorème suivant, maintenant connu comme le petit théorème de Fermat:

"Si p est un cousin étrange qui ne divise pas un entier lealors lep - 1 ≡ 1 (mod p).”

Comment p est étrange, il s'ensuit que (p - 1) / 2 est un entier, nous devons donc: le(p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).

Maintenant connu sous le nom de critère d'Euler, c'était le point de départ pour Euler d'enquêter sur une démonstration LRQ. Disons le critère d'Euler:

Soit p un nombre premier impair et un entier tel que p ne divise pas le.

Le nombre a est le module de reste quadratique p si, et seulement si, le(p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).”

Par exemple, le = 3 est un module résiduel non quadratique p = 7, car 33 = 27 ≡ -1 (mod 7).

D'un autre côté, le = 3 est un résidu quadratique module p = 11, car 35 = 243 ≡ 1 (mod 11).

Cependant, ce critère n'est pas pratique. Par exemple, si nous voulons décider si l'entier 17 est un module de résidus quadratique 1987, nous devons décider si 17993 correspond à 1 module 1987 (notez que (1987-1) / 2 = 993). Par conséquent, il est nécessaire de rechercher s'il existe une méthode plus pratique.

Euler s'est concentré sur la situation où les deux entiers p et quoi ce sont des nombres premiers positifs, impairs et distincts. Legendre a tenté de donner une démonstration de ce fait en 1785, mais il a supposé un résultat dont la démonstration est beaucoup plus profonde que la démonstration LRQ, à savoir que certaines progressions arithmétiques contenaient des nombres premiers infinis entre leurs éléments.

Cependant, Legendre a introduit le symbole suivant (le/p): (le/p) = 1 si quoi est un résidu quadratique de p, et (le/p) = -1, sinon. Ce symbole (le/p) satisfait de nombreuses propriétés intéressantes. Par exemple, si p est un cousin étrange et le, b sont des entiers non divisibles par le cousin palors: le symbole est multiplicatif, ie ((ab)/p) = (le/p) (b/p); si leb (mod p), puis (le/p) = (b/p).

Avec ce symbole (le/p), connu sous le nom de symbole Legendre, le LRQ s'exprime comme suit:

(quoi/p) (p/quoi) = (-1)(p - 1) / 2. (quoi - 1) / 2.

LRQ peut être formulé de différentes manières. Multipliant l'égalité ci-dessus par (p/quoi) nous obtenons l'égalité

(quoi/p) = (-1)(p - 1) / 2.(quoi - 1) / 2(p/quoi),

parce que (p/quoi) = ± 1. Décidons si l'entier 30 est un résidu quadratique modulo 53 en utilisant le LRQ. Nous notons d'abord que:

(15/53) = (3/53)(5/53).

(3/53) = (-1) (3 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/3) = (53/3) = (2/3),

pour le reste de la division de 53 par 3 est 2, soit 53 ≡ 2 (mod 3). Puisque 2 est un module non quadratique 3, il s'ensuit que (2/3) = -1. Par le LRQ, (5/53) = (-1) (5 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/5) = (53/5) = (3/5), car le reste de la division de 53 par 5 est 3, c'est-à-dire 53 ≡ 3 (mod 5). Comme 3 est un module de résidus non quadratique 5, il s'ensuit que (3/5) = -1. Par conséquent, (15/53) = (3/53) (5/53) = (-1). (-1) = 1 implique que 15 est le module de résidu quadratique 53.

Gauss est considéré par beaucoup comme l'un des trois plus grands mathématiciens de l'histoire, aux côtés d'Archimède et de Newton. À dix-sept ans, il a décidé de corriger et de compléter les recherches que ses prédécesseurs avaient développées en arithmétique. Gauss avait un vif intérêt pour les questions arithmétiques et sa phrase est connue:

«Les mathématiques sont la reine des sciences et l'arithmétique est la reine des mathématiques.

Le travail de Gauss est une source d'inspiration pour sa créativité et un regard profond et moderne sur les questions mathématiques. Dans son livre «Disquisitiones Arithmeticae», il étudie des équations du type xnon º le (mod p). Il s'agit d'un problème difficile qui nécessite toujours une enquête. Cependant, en étudiant la situation dans laquelle non = 2, a découvert et démontré le LRQ.

Entre 1808 et 1832, Gauss a continué d'enquêter sur des lois similaires pour des puissances supérieures aux carrés, c'est-à-dire les relations entre p et quoi tel que quoi étaient un reste cubique de p, (x3 º quoi (mod p)) ou de résidus bikadratiques (x4 º quoi(mod p)), etc. Au cours de cette enquête, Gauss a fait quelques découvertes et s'est rendu compte que l'enquête était devenue plus simple en travaillant sur des nombres complexes. m + nonje où m et non sont des entiers et je = (-1)1/2.

Gauss a développé une théorie de factorisation principale pour ces nombres complexes Zje actuellement connu sous le nom Entiers gaussiens ou Entiers gaussiens en l'honneur de lui.

Gauss a démontré que l'ensemble des entiers gaussiens, pourvu des opérations d'addition et de multiplication, donne naissance à une structure appelée domaine d'intégrité. De plus, les entiers gaussiens admettent une décomposition première, cette décomposition est unique sauf de l'ordre des facteurs exactement comme avec l'ensemble de nombres entier.

Gauss a généralisé l'idée d'entier lors de la définition de l'ensemble Zje. Il a découvert qu'une grande partie de l'ancienne théorie d'Euclide de la factorisation entière pouvait être appliquée au domaine Z.je avec des conséquences importantes pour la théorie des nombres. Cependant, les problèmes de divisibilité deviennent complexes dans ce domaine. Notez que 5 est un nombre premier en Z, mais non plus en Zje. En fait,

(1 + 2je).(1 - 2je) = 1 - 2je + 2je - 4je2 = 1 - 4.(-1) = 5.

Une question naturelle se pose: quels sont les nombres premiers du domaine de la santé Zje?

Cette question et d'autres concernant l'arithmétique des entiers gaussiens seront commentées dans notre prochaine colonne.

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